Calcolo Esempi

$y = 4 x (5 x^{2} - 3 x)$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x (5 x^{2} - 3 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 5 x^{2} - 3 x$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3 x] + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$4 (x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$4 (x (10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (10 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3 \cdot 1) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \cdot 1)$

Passaggio 3.9

Moltiplica $5 x^{2} - 3 x$ per $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + 5 x^{2} - 3 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (10 x) + x \cdot - 3 + 5 x^{2} - 3 x)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (10 x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (10 (x^{1} x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (10 (x^{1} x^{1})) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (10 x^{1 + 1}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 (10 x^{2}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $10$ per $4$ .

$40 x^{2} + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.6

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$40 x^{2} + 4 (- 3 \cdot x) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $5$ per $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 20 x^{2} + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.9

Somma $40 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 12 x + 4 (- 3 x)$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$60 x^{2} - 12 x - 12 x$

Passaggio 4.3.11

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$60 x^{2} - 24 x$