Calcolo Esempi

$y = \ln (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (9 x^{2} + 5 y^{2}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 5 y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Passaggio 3.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Passaggio 3.2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (18 x + 10 y y')$ .

$(18 x + 10 y y') \frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $18 x + 10 y y'$ per $\frac{1}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$ .

$\frac{18 x + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Scomponi $2$ da $18 x + 10 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Scomponi $2$ da $18 x$ .

$\frac{2 (9 x) + 10 y y'}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Passaggio 3.6.3.2

Scomponi $2$ da $10 y y'$ .

$\frac{2 (9 x) + 2 (5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Passaggio 3.6.3.3

Scomponi $2$ da $2 (9 x) + 2 (5 y y')$ .

$\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $y' (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riordina.

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Passaggio 5.2.1.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 y' x^{2} + y' (5 y^{2}) = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $\frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $9 x^{2} + 5 y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = \frac{2 (9 x + 5 y y')}{9 x^{2} + 5 y^{2}} (9 x^{2} + 5 y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x + 5 y y')$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 2 (9 x) + 2 (5 y y')$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Moltiplica $9$ per $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 2 (5 y y')$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 (y y')$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Sposta $y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 18 x + 10 y' y$

Passaggio 5.2.2.1.3.4

Riordina $18 x$ e $10 y' y$ .

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} = 10 y' y + 18 x$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $10 y' y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $9 y' x^{2} + 5 y' y^{2} - 10 y' y$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $9 y' x^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + 5 y' y^{2} - 10 y' y = 18 x$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $5 y' y^{2}$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) - 10 y' y = 18 x$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $- 10 y' y$ .

$y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi $y'$ da $y' (9 x^{2}) + y' (5 y^{2})$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y) = 18 x$

Passaggio 5.3.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (9 x^{2} + 5 y^{2}) + y' (- 10 y)$ .

$y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ ciascun termine in $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ ciascun termine in $y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y) = 18 x$ .

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y)}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 x}{9 x^{2} + 5 y^{2} - 10 y}$