Calcolo Esempi

$y = \frac{x + y}{x - y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + y$ e $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.1

Espandi $(x - y) (1 + y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.3

Espandi $(- x - y) (1 - y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.4.2

Moltiplica $- x (- y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.4.4

Moltiplica $- y (- y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.1.4.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.2

Combina i termini opposti in $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.2.2

Somma $x y' - y - y y'$ e $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.2.3

Somma $- y y'$ e $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.2.4

Somma $x y' - y + x y' - y$ e $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.3

Somma $x y'$ e $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2.4

Sottrai $y$ da $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Scomponi $2$ da $2 x y' - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Scomponi $2$ da $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3.3

Scomponi $2$ da $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

Passaggio 5.2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

Passaggio 5.2.1.3.2

Sposta $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Sottrai $2 y' x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.2

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.1.4.1

Sposta $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.2.1

Sposta $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi $y'$ da $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Passaggio 5.3.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Passaggio 5.3.2.6

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Passaggio 5.3.2.7

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ ciascun termine in $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ ciascun termine in $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$