Calcolo Esempi

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + y' + 0$

Passaggio 2.5

Somma $1 + y'$ e $0$ .

$1 + y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2 x + 2 y y'$ per $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $2$ da $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 3.5.3.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $x^{2} + y^{2}$ .

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Espandi $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.2

Sposta $x^{2}$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Sposta $y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riordina $2 x$ e $2 y' y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $2 y' y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

Passaggio 5.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y'$ da $- 2 y' y$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $x^{2} + y^{2} - 2 y$ ciascun termine in $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $x^{2} + y^{2} - 2 y$ ciascun termine in $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.4.3.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.4.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$