Calcolo Esempi

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori di $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 y y' + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 y y'$ e $0$ .

$2 y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $1 + y'$ per $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2.3.2

Somma $x y$ e $y x$ .

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Passaggio 5.2.2.3.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2.3.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.3

Per scrivere $- 2 y y'$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.4

$- 2 y y'$ e $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.6.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.6.2.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.2.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.2.3

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.3.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.2.3.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.6.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Passaggio 5.3

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione per $y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ .

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Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Passaggio 5.4.2.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Passaggio 5.4.2.3

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' x^{2}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Passaggio 5.4.2.4

Scomponi $y'$ da $- 4 y^{2} y' x$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

Passaggio 5.4.2.5

Scomponi $y'$ da $- 2 y^{3} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Passaggio 5.4.2.6

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Passaggio 5.4.2.7

Scomponi $y'$ da $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Passaggio 5.4.2.8

Scomponi $y'$ da $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Passaggio 5.4.2.9

Scomponi $y'$ da $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

Passaggio 5.4.3

Dividi per $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ ciascun termine in $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Dividi per $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ ciascun termine in $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$