Calcolo Esempi

$\ln (y) = e^{y} \sin (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{y}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{y} = e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $(e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Riordina i fattori in $e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$ .

$y' = y e^{y} \cos (x) + y' y e^{y} \sin (x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riordina $y e^{y} \cos (x)$ e $y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (x) + y e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y' y e^{y} \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $y' - y' y e^{y} \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $- y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $1 - y e^{y} \sin (x)$ ciascun termine in $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $1 - y e^{y} \sin (x)$ ciascun termine in $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$