Calcolo Esempi

$\ln (x y) - y^{2} = 5$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) - y^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x y) - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - (2 y y')$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) - 2 y y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2.2

$\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2.4

$\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} - 2 y y'$

Passaggio 2.4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - 2 y y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, y, x, 1$

Passaggio 5.1.2

Since $1, y, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 5.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.1.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y x$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $- 2 y y' + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ per $y x$ .

$- 2 y y' (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $y$ .

$- 2 (y \cdot y) y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 y^{2} y' x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0 (y x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $0$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0 x$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$- 2 y^{2} y' x + y' x + y = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y^{2} y' x + y' x = - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y' x$ da $- 2 y^{2} y' x + y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y' x$ da $- 2 y^{2} y' x$ .

$y' x (- 2 y^{2}) + y' x = - y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y' x$ da $y' x$ .

$y' x (- 2 y^{2}) + y' x \cdot 1 = - y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y' x$ da $y' x (- 2 y^{2}) + y' x \cdot 1$ .

$y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $x (- 2 y^{2} + 1)$ ciascun termine in $y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $x (- 2 y^{2} + 1)$ ciascun termine in $y' x (- 2 y^{2} + 1) = - y$ .

$\frac{y' x (- 2 y^{2} + 1)}{x (- 2 y^{2} + 1)} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x (- 2 y^{2} + 1)}{x (- 2 y^{2} + 1)} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 2 y^{2} + 1)}{- 2 y^{2} + 1} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2 y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 2 y^{2} + 1)}{- 2 y^{2} + 1} = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x (- 2 y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{2}$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2}) + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2}) - 1 (- 1))}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{2}) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- (2 y^{2} - 1))}$

Passaggio 5.3.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1

Riscrivi $- (2 y^{2} - 1)$ come $- 1 (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = - \frac{y}{x (- 1 (2 y^{2} - 1))}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - - \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' = 1 \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.4

Moltiplica $\frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 y^{2} - 1)}$