Calcolo Esempi

$y = {(4 x + 3)}^{5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x + 3)}^{5})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 3$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 3.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} (4 + 0)$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$5 {(4 x + 3)}^{4} \cdot 4$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 {(4 x + 3)}^{4}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 20 {(4 x + 3)}^{4}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 {(4 x + 3)}^{4}$