Calcolo Esempi

$y = {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 4 x^{3} + 5$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{3} + 5$ .

$\frac{3}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.6

$\frac{3}{2}$ e ${(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (12 x^{2} + 0)$

Passaggio 3.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.12.1

Somma $12 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (12 x^{2})$

Passaggio 3.12.2

$12$ e $\frac{3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{12 (3 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Passaggio 3.12.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$\frac{36 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Passaggio 3.12.4

$\frac{36 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{36 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Passaggio 3.12.5

Scomponi $2$ da $36 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (18 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Passaggio 3.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.13.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (18 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Passaggio 3.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (18 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{18 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Passaggio 3.13.4

Dividi $18 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ per $1$ .

$18 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Passaggio 3.14

Riordina i fattori di $18 {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$18 x^{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 18 x^{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x^{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$