Calcolo Esempi

$y = \tan (\sqrt{7 t})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 t}$ come ${(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $7$ da $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(7 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola del prodotto a $7 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $7^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.9

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 4.10

$7^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.11

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.12

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13

Riordina i fattori in $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$