Calcolo Esempi

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = 4 t - 1$ e $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 2 t - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Passaggio 3.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.3.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Passaggio 3.3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

Passaggio 3.3.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Somma $4$ e $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

Passaggio 3.3.12.2

Sposta $4$ alla sinistra di ${(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riordina i termini.

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 t - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 t$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (t - 1)$ .

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Scomponi $2$ da $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Scomponi $2$ da $2 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.5.3

Scomponi $2$ da $4 t$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.6

$2$ e $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.8

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ e $t$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.9

Moltiplica $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.9.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

Passaggio 3.4.2.12

Scomponi $2$ da $2 t - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.12.1

Scomponi $2$ da $2 t$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

Passaggio 3.4.2.12.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

Passaggio 3.4.2.12.3

Scomponi $2$ da $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Passaggio 3.4.2.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.13.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

Passaggio 3.4.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Passaggio 3.4.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

Passaggio 3.4.2.14

$2$ e $\frac{1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $\frac{2}{t - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(t - 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $\frac{2}{t - 1}$ per $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $t - 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.3

Eleva $t - 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 t + 2 (t - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 (- t) + 2 (t - 1)$ .

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.1.2

Somma $- t$ e $t$ .

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.1.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Per scrivere $- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 {(t - 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.2

Riordina i fattori di ${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.10.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$