Calcolo Esempi

$\sqrt{x y} = x - 4 y$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x y}$ come ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x y)}^{\frac{1}{2}} = x - 4 y$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 4 y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.6.3

Sposta ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.10

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y)$

Passaggio 3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y' + y)$

Passaggio 3.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y') + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} y' + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.2

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x y' x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.11.3.5

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.11.3.6

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.11.3.7

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.7.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.7.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.11.3.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.11.3.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.11.3.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.11.3.7.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - 4 y'$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1 - 4 y'$

Passaggio 6

Risolvi per $y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riordina i fattori in $\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y'$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y' = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$

Passaggio 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ .

Passaggio 6.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 6.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.2.6

Il minimo comune multiplo di $2, 2, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 6.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.8

Il minimo comune multiplo di $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y' = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 + 4 y' = 0$ per $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y' x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.4.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' x^{\frac{2}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.5

Dividi $2$ per $2$ .

$y' x^{1} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.5

Semplifica $y' x^{1}$ .

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x + 2 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.8.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$y' x + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.9

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.9.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' x + y^{\frac{1 + 1}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.9.3

Somma $1$ e $1$ .

$y' x + y^{\frac{2}{2}} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.9.4

Dividi $2$ per $2$ .

$y' x + y^{1} - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.10

Semplifica $y^{1}$ .

$y' x + y - (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' x + y - 2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.12

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $0$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Trova un fattore comune $y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ che è presente in ciascun termine.

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ per $u$ .

$y' x + y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 (u) = 0$

Passaggio 6.4.3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $u$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1.1

Sottrai $y' x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 u = - y' x$

Passaggio 6.4.3.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 u = - y' x - y$

Passaggio 6.4.3.1.3

Somma $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 u = - y' x - y + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.3.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 u = - y' x - y + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 u = - y' x - y + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 u}{8} = \frac{- y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Passaggio 6.4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 u}{8} = \frac{- y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Passaggio 6.4.3.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Passaggio 6.4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{y' x}{8} + \frac{- y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Passaggio 6.4.3.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{8}$

Passaggio 6.4.3.2.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{8}$

Passaggio 6.4.3.2.3.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.4.3.2.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{2 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.4.3.2.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$u = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 6.4.4

Sostituisci $u$ per $y'$ .

$y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{y' x}{8} - \frac{y}{8} + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y' (x)}{8} - \frac{y}{8} + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{4}$