Calcolo Esempi

$y = (x + 1) (x^{2} - 1)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 1) (x^{2} - 1))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)$

Passaggio 3.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1$

Passaggio 3.2.8.2

Moltiplica $x^{2} - 1$ per $1$ .

$2 (x + 1) x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1$

Passaggio 3.3.3.6

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 1$