Calcolo Esempi

$x^{3} - x^{2} - x y = 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - x^{2} - x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - 2 x - \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 2 x - (x y') - y$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 x^{2} - 2 x - x y' - y$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' - 2 x - y = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' - y = - 3 x^{2} + 2 x$

Passaggio 5.1.3

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$

Passaggio 5.2

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (- 3 x)$ come $- (- 3 x)$ .

$y' = - (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = 3 x + \frac{2}{- 1} + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.4.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$y' = 3 x - 1 \cdot 2 + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' = 3 x - 2 + \frac{y}{- x}$

Passaggio 5.2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$