Calcolo Esempi

$1 + \ln (x y) = e^{x - y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (1 + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$0 + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$0 + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.3.2.2

$\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.3.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Passaggio 2.3.2.4

$\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 2.3.2.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.3.2.6

Somma $0$ e $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $e^{x - y} (1 - y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Passaggio 5.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $e^{x - y}$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Passaggio 5.1.4.3

Riordina i fattori in $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $y' e^{x - y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $y' e^{x - y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y' + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da $y' + y' e^{x - y} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{y'}^{1} + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.4.2

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.4.3

Scomponi $y'$ da $y' e^{x - y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.4.4

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.5

Per scrivere $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.6

Per scrivere $\frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.7.3

Riordina i fattori di $y x$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.9.2

Moltiplica $y'$ per $1$ .

$\frac{(y' + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.2.10

Riordina i fattori in $\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} = e^{x - y}$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $x y$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Semplifica $\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Passaggio 5.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' x + y' y x e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Passaggio 5.4.1.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.2.1

Sposta $y$ .

$y' x + y' x y e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Passaggio 5.4.1.1.2.2

Sposta $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = e^{x - y} (x y)$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Riordina i fattori in $e^{x - y} (x y)$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' x + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y' x$ da $y' x + y' x y e^{x - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $y' x$ da $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Passaggio 5.5.2.2

Scomponi $y' x$ da $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Passaggio 5.5.2.3

Scomponi $y' x$ da $y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y})$ .

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Passaggio 5.5.3

Dividi per $x (1 + y e^{x - y})$ ciascun termine in $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Dividi per $x (1 + y e^{x - y})$ ciascun termine in $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ .

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + y e^{x - y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{x y e^{x - y} - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.3.2

Scomponi $y$ da $x y e^{x - y} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.3.2.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 5.5.3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$