Calcolo Esempi

$y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4} = 27$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}) = \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.5

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 y^{2} y' + 5 \cdot x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{5}$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - (4 x^{3})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - 4 x^{3}$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Passaggio 3

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Somma $4 x^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 4 x^{3}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 y^{5} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Passaggio 5.2

Scomponi $y^{2} y'$ da $3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y^{2} y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y^{2} y'$ da $5 y^{4} x^{2} y'$ .

$y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y^{2} y'$ da $y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2})$ .

$y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

Passaggio 5.3

Dividi per $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ ciascun termine in $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ ciascun termine in $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ .

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3 + 5 y^{2} x^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{5}$ e $y^{2}$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $- 2 y^{5} x$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}$ .

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Passaggio 5.3.3.5.1.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 y^{3} x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $y^{3}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.3.5.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - (y^{2} y^{3}))}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{2 + 3})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.2.3

Somma $2$ e $3$ .

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$