Calcolo Esempi

$y^{2} = \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + 1})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Passaggio 5.3.2

Combina.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 \cdot {(x + 1)}^{2} y}$

Passaggio 5.3.3.3

Riordina i fattori in $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y {(x + 1)}^{2}}$