Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali y=3x^(2/3)-2x
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 2.2.4
e .
Passaggio 2.2.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 2.2.6
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.6.2
Sottrai da .
Passaggio 2.2.7
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.2.8
e .
Passaggio 2.2.9
e .
Passaggio 2.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.11
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 2.2.12
Scomponi da .
Passaggio 2.2.13
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.13.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.13.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.13.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 3
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 3.2.3
Differenzia usando la regola della catena secondo cui è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 3.2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 3.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 3.2.4
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 3.2.5
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.5.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 3.2.5.2
e .
Passaggio 3.2.5.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 3.2.6
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 3.2.7
e .
Passaggio 3.2.8
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 3.2.9
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.9.2
Sottrai da .
Passaggio 3.2.10
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 3.2.11
e .
Passaggio 3.2.12
e .
Passaggio 3.2.13
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.13.1
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 3.2.13.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 3.2.13.3
Sottrai da .
Passaggio 3.2.13.4
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 3.2.14
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 3.2.15
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.16
e .
Passaggio 3.2.17
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 3.3
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3.2
Somma e .
Passaggio 4
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 5
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 5.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 5.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 5.1.2.3
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 5.1.2.4
e .
Passaggio 5.1.2.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 5.1.2.6
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.2.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.1.2.6.2
Sottrai da .
Passaggio 5.1.2.7
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 5.1.2.8
e .
Passaggio 5.1.2.9
e .
Passaggio 5.1.2.10
Moltiplica per .
Passaggio 5.1.2.11
Sposta al denominatore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 5.1.2.12
Scomponi da .
Passaggio 5.1.2.13
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.2.13.1
Scomponi da .
Passaggio 5.1.2.13.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.1.2.13.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 5.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 5.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 6
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 6.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 6.3
Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.3.1
Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.
Passaggio 6.3.2
Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.
Passaggio 6.4
Moltiplica per ciascun termine in per eliminare le frazioni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.1
Moltiplica ogni termine in per .
Passaggio 6.4.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.4.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.4.2.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.5
Risolvi l'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 6.5.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 6.5.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.5.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 6.5.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 6.5.3
Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.
Passaggio 6.5.4
Semplifica l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.4.1
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.4.1.1
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.4.1.1.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.4.1.1.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 6.5.4.1.1.1.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.4.1.1.1.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.5.4.1.1.1.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.5.4.1.1.2
Semplifica.
Passaggio 6.5.4.2
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.4.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 7
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.1
Applica la regola per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.
Passaggio 7.1.2
Qualsiasi cosa elevata a è la base stessa.
Passaggio 7.2
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 7.3
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.1
Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 7.3.2
Semplifica ogni lato dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 7.3.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.2.1
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.2.1.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.2.1.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 7.3.2.2.1.1.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.2.1.1.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 7.3.2.2.1.1.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 7.3.2.2.1.2
Semplifica.
Passaggio 7.3.2.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.3.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 8
Punti critici da calcolare.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 10
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 10.2
Moltiplica per .
Passaggio 11
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 12
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 12.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.2.1.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 12.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 12.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 12.2.2
Sottrai da .
Passaggio 12.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 14
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1.1
Riscrivi come .
Passaggio 14.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 14.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 14.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 14.3
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 14.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.3
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Passaggio 14.4
L'espressione contiene una divisione per . L'espressione è indefinita.
Indefinito
Indefinito
Passaggio 15
Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda o indefinita, applica il test della derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.1
Dividi in intervalli separati intorno ai valori che rendono la derivata prima o indefinita.
Passaggio 15.2
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 15.3
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.3.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.3.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.3.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.3.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 15.3.2.2
Sottrai da .
Passaggio 15.3.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 15.4
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.4.2.1
Rimuovi le parentesi.
Passaggio 15.4.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 15.5
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a , allora è un minimo locale.
è un minimo locale
Passaggio 15.6
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a , allora è un massimo locale.
è un massimo locale
Passaggio 15.7
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
è un minimo locale
è un massimo locale
Passaggio 16