Calcolo Esempi

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = e^{x^{4}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{x^{4}}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x^{4}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.4.1

$e^{x^{4}}$ e $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

Passaggio 3.4.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.3.1

$4$ e $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

Passaggio 3.4.3.2

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riordina i fattori in $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Passaggio 3.5.3

Riordina i fattori in $\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$