Calcolo Esempi

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Passaggio 1

Riscrivi il lato destro con esponenti razionali.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[7]{t}$ come $t^{\frac{1}{7}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t^{7}}$ come $t^{\frac{7}{2}}$ .

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $u$ rispetto a $t$ è $u'$ .

$u'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ .

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Passaggio 4.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.2.3

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $7$ da $1$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

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Passaggio 4.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t^{\frac{7}{2}}$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

Passaggio 4.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

Passaggio 4.3.6.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 4.3.7

$\frac{7}{2}$ e $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 4.3.8

$6$ e $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $7$ per $6$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 4.3.10

Scomponi $2$ da $42 t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Passaggio 4.3.11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 4.3.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

Passaggio 4.3.11.4

Dividi $21 t^{\frac{5}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 4.4.3

Riordina i termini.

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $u'$ con $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$