Calcolo Esempi

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $\frac{2}{3}$ rispetto a $w$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- \frac{1}{5}$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $- \frac{y^{2}}{5}$ rispetto a $w$ è $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{2}$ e $g (w) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d w} [y]$ come $y'$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.5

$- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.6

$y$ e $\frac{- 2}{5}$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.7

$\frac{y \cdot - 2}{5}$ e $y'$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $\frac{4 y^{2}}{3}$ rispetto a $w$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{2}$ e $g (w) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d w} [y]$ come $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

Passaggio 3.3.4

$2$ e $\frac{4}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

Passaggio 3.3.6

$y$ e $\frac{8}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

Passaggio 3.3.7

$\frac{y \cdot 8}{3}$ e $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

Passaggio 3.3.8

Sposta $8$ alla sinistra di $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $\frac{2 y y'}{5}$ da $0$ .

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $- \frac{2 y y'}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $\frac{8 y y'}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.4.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $\frac{2 y y'}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.4.4.3

Moltiplica $\frac{8 y y'}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Passaggio 3.4.4.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

Passaggio 3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $5$ per $8$ .

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

Passaggio 3.4.8

Somma $- 6 y y'$ e $40 y y'$ .

$\frac{34 y y'}{15}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{34 y y'}{15} = 1$ .

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

Passaggio 5.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{15}{34}$ .

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Passaggio 5.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Semplifica $\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $34$ .

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Passaggio 5.3.1.1.2.1

Scomponi $34$ da $34 y y'$ .

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $\frac{15}{34}$ per $1$ .

$y y' = \frac{15}{34}$

Passaggio 5.4

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = \frac{15}{34}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = \frac{15}{34}$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 5.4.3.2

Moltiplica $\frac{15}{34}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{15}{34 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d w}$ .

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$