Calcolo Esempi

$2 y^{2} = \frac{5 x - 3}{5 x + 3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 3}{5 x + 3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x - 3$ e $g (x) = 5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(5 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{(5 x + 3) \cdot 5 - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $5 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 3) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 3 - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 3 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in $5 (5 x) + 5 \cdot 3 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sottrai $5 (5 x)$ da $5 (5 x)$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 0 - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Somma $5 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$\frac{15 + 15}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Somma $15$ e $15$ .

$\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 y y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $4 y$ ciascun termine in $4 y y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Passaggio 5.3.2

Combina.

$y' = \frac{30 \cdot 1}{{(5 x + 3)}^{2} (4 y)}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $30$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $2$ da $30 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (15 \cdot 1)}{{(5 x + 3)}^{2} (4 y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $2$ da ${(5 x + 3)}^{2} (4 y)$ .

$y' = \frac{2 (15 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 3)}^{2} (2 y))}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (15 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 3)}^{2} (2 y))}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{15 \cdot 1}{{(5 x + 3)}^{2} (2 y)}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $15$ per $1$ .

$y' = \frac{15}{{(5 x + 3)}^{2} \cdot 2 y}$

Passaggio 5.3.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(5 x + 3)}^{2}$ .

$y' = \frac{15}{2 \cdot {(5 x + 3)}^{2} y}$

Passaggio 5.3.4.3

Riordina i fattori in $\frac{15}{2 {(5 x + 3)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{15}{2 y {(5 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{2 y {(5 x + 3)}^{2}}$