Calcolo Esempi

$2 x^{3} = {(3 x y + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = \frac{d}{d x} ({(3 x y + 1)}^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${(3 x y + 1)}^{2}$ come $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 1) (3 x y + 1)]$

Passaggio 3.2

Espandi $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 1) + 1 (3 x y + 1)]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y + 1)]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $3 x y$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1 \cdot 1]$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1]$

Passaggio 3.3.2

Somma $3 x y$ e $3 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.4.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.9

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.9.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.11

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.13

Moltiplica $y$ per $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.14

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + 0$

Passaggio 3.15

Somma $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$ e $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Passaggio 3.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Passaggio 3.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Passaggio 3.16.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.3.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Passaggio 3.16.3.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 x^{2} = 18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $18 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2} - 18 y^{2} x$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Passaggio 5.3

Scomponi $6 x y'$ da $18 x^{2} y y' + 6 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $6 x y'$ da $18 x^{2} y y'$ .

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $6 x y'$ da $6 x y'$ .

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1 = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $6 x y'$ da $6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1$ .

$6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Passaggio 5.4

Dividi per $6 x (3 x y + 1)$ ciascun termine in $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $6 x (3 x y + 1)$ ciascun termine in $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ .

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $3 x y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x^{2}}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Scomponi $6$ da $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Scomponi $6$ da $6 x (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.6

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.6.1

Scomponi $6$ da $- 6 y$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.6.2.1

Scomponi $6$ da $6 x (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Passaggio 5.4.3.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Passaggio 5.4.3.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.3

Per scrivere $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(3 x y + 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.4.1

Moltiplica $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{(3 x y + 1) x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.4.2

Riordina i fattori di $(3 x y + 1) x$ .

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{x (3 x y + 1)} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x - y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{x \cdot x - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 5.4.3.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$