Calcolo Esempi

$5 x^{3} + x y^{2} = 5 x^{3} y^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3} + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} y^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} + x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$15 x^{2} + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$15 x^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 x^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$15 x^{2} + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$15 x^{2} + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{2} + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$15 x^{2} + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$15 x^{2} + 2 x y y' + y^{2}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3} y^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$5 (x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$5 (3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.7

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + 3 \cdot y^{3} x^{2})$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (3 x^{3} y^{2} y') + 5 (3 y^{3} x^{2})$

Passaggio 3.8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 (x^{3} y^{2} y') + 5 (3 y^{3} x^{2})$

Passaggio 3.8.2.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{3} y^{2} y' + 15 y^{3} x^{2}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y' = 15 x^{3} y^{2} y' + 15 y^{3} x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $15 x^{3} y^{2} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2}$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $15 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $x y y'$ da $2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x y y'$ da $2 x y y'$ .

$x y y' \cdot 2 - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y y'$ da $- 15 x^{3} y^{2} y'$ .

$x y y' \cdot 2 + x y y' (- 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x y y'$ da $x y y' \cdot 2 + x y y' (- 15 x^{2} y)$ .

$x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $x y (2 - 15 x^{2} y)$ ciascun termine in $x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x y (2 - 15 x^{2} y)$ ciascun termine in $x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{x y y' (2 - 15 x^{2} y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y y' (2 - 15 x^{2} y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (2 - 15 x^{2} y)}{y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (2 - 15 x^{2} y)}{y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 - 15 x^{2} y)}{2 - 15 x^{2} y} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2 - 15 x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 - 15 x^{2} y)}{2 - 15 x^{2} y} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $15 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $x y (2 - 15 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{y (x (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{y (x (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{15 y^{2} x^{2}}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $15 y^{2} x^{2}$ .

$y' = \frac{x (15 y^{2} x)}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (15 y^{2} x)}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Scomponi $x$ da $- 15 x^{2}$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x y (2 - 15 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x (y (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x (y (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{- 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.5.2.1

Scomponi $y$ da $x y (2 - 15 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{y (x (2 - 15 x^{2} y))}$

Passaggio 5.4.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{y (x (2 - 15 x^{2} y))}$

Passaggio 5.4.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $\frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 - 15 x^{2} y) y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x y}{(2 - 15 x^{2} y) y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 - 15 x^{2} y) y$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x y}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{15 y^{2} x y - 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1

Scomponi $15 x$ da $15 y^{2} x y - 15 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1.1

Scomponi $15 x$ da $15 y^{2} x y$ .

$y' = \frac{15 x (y^{2} y) - 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.1.2

Scomponi $15 x$ da $- 15 x$ .

$y' = \frac{15 x (y^{2} y) + 15 x (- 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.1.3

Scomponi $15 x$ da $15 x (y^{2} y) + 15 x (- 1)$ .

$y' = \frac{15 x (y^{2} y - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.1

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{15 x (y^{2} y^{1} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{15 x (y^{2 + 1} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$y' = \frac{15 x (y^{3} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$y' = \frac{15 x (y^{3} - 1^{3})}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.5.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.5.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y + 1))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.6

Per scrivere $\frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.7

Per scrivere $- \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 5.4.3.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (2 - 15 x^{2} y) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.8.1

Moltiplica $\frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{y (2 - 15 x^{2} y) x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 5.4.3.8.2

Moltiplica $\frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{y (2 - 15 x^{2} y) x} - \frac{y \cdot y}{x (2 - 15 x^{2} y) y}$

Passaggio 5.4.3.8.3

Riordina i fattori di $y (2 - 15 x^{2} y) x$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{x y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y \cdot y}{x (2 - 15 x^{2} y) y}$

Passaggio 5.4.3.8.4

Riordina i fattori di $x (2 - 15 x^{2} y) y$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{x y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.10.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.10.1.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{15 (x \cdot x) (y - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{15 x^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{(15 x^{2} y + 15 x^{2} \cdot - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.3

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$y' = \frac{(15 x^{2} y - 15 x^{2}) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.4

Espandi $(15 x^{2} y - 15 x^{2}) (y^{2} + y + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$y' = \frac{15 x^{2} y \cdot y^{2} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.10.5.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.10.5.1.1

Sposta $y^{2}$ .

$y' = \frac{15 x^{2} (y^{2} y) + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.10.5.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} (y^{2} y^{1}) + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{15 x^{2} y^{2 + 1} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.10.5.2.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} (y \cdot y) + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5.3

Moltiplica $15$ per $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.5.4

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.6

Combina i termini opposti in $15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2}$ .

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Passaggio 5.4.3.10.6.1

Sottrai $15 x^{2} y^{2}$ da $15 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y + 0 - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.6.2

Somma $15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y$ e $0$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.6.3

Sottrai $15 x^{2} y$ da $15 x^{2} y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 0 - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.6.4

Somma $15 x^{2} y^{3}$ e $0$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.7

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.4.3.10.7.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - (y \cdot y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 5.4.3.10.7.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$