Calcolo Esempi

$8 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Passaggio 1

Riscrivi il lato sinistro con esponenti razionali.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 4$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 4$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.9

$8$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.11

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Passaggio 3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Passaggio 3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Passaggio 3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Passaggio 3.3.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Passaggio 3.3.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Passaggio 3.3.10

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Sottrai $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.3.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.1

Semplifica $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = - 2 \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

$- 2$ e $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{- 2 \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$y' = \frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.1.4

$\frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$