Calcolo Esempi

$x + 2 y = \sqrt{y}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + 2 y'$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$2 y' + 1$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.7

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.8

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.9

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Passaggio 4.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica ogni lato per $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1.1

Semplifica $(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.1.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2.2

Moltiplica $2 y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.3.1

Sottrai $2 y^{\frac{1}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $y'$ da $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $y'$ da $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.3

Dividi per $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ ciascun termine in $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ ciascun termine in $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$