Calcolo Esempi

$\int \ln (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x^{2} + 1)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (x^{2} + 1) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi $x^{2}$ per $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 9.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$