Calcolo Esempi

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

$2 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - y$ e $g (x) = x^{2} + y$ .

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Passaggio 3.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Passaggio 3.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Passaggio 3.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Passaggio 3.8.6

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.8.7.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.7

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.8

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Passaggio 3.8.7.9

Somma $- y y'$ e $y (- y')$ .

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Passaggio 3.8.7.9.1

Riordina $y$ e $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

Passaggio 3.8.7.9.2

Sottrai $y y'$ da $- y y'$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

Passaggio 3.8.8

Riordina i termini.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2 y y'$ da $- 2 y y'$ .

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Somma $2 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- 4 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (- 4 y)$ .

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $y'$ da $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 5.5

Dividi per $x - 4 y - x^{2}$ ciascun termine in $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $x - 4 y - x^{2}$ ciascun termine in $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ .

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 4 y - x^{2}$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $2 x y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.3.2.8.1

Riscrivi $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ come $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$