Calcolo Esempi

$y^{2} = 5 x^{4} - x^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - x^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 x^{3} - (2 x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$20 x^{3} - 2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$

Passaggio 5

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $20 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Passaggio 5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- x}{y}$

Passaggio 5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$