Calcolo Esempi

$x^{7} y + y^{7} x = 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{7} y + y^{7} x) = \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{7} y + y^{7} x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} y] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{7} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = y$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{7} y' + y \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$x^{7} y' + y (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Passaggio 2.2.4

Sposta $7$ alla sinistra di $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{7} x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{7} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y^{7}$ e $g (x) = x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{7}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} \cdot 1 + x (7 y^{6} y')$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y^{7}$ per $1$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + x (7 y^{6} y')$

Passaggio 2.3.6

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$x^{7} y' + 7 y x^{6} + y^{7} + 7 x y^{6} y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y'$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y^{7} + x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $y^{7}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{7} y' + 7 x^{6} y + 7 y^{6} x y' = - y^{7}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $7 x^{6} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{7} y' + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $x^{7} y' + 7 y^{6} x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $x^{7} y'$ .

$x y' x^{6} + 7 y^{6} x y' = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $7 y^{6} x y'$ .

$x y' x^{6} + x y' (7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' x^{6} + x y' (7 y^{6})$ .

$x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (x^{6} + 7 y^{6})$ ciascun termine in $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (x^{6} + 7 y^{6})$ ciascun termine in $x y' (x^{6} + 7 y^{6}) = - y^{7} - 7 x^{6} y$ .

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{6} + 7 y^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{6} + 7 y^{6})}{x^{6} + 7 y^{6}} = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{6} y}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- 7 x^{6} y$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{x (- 7 x^{5} y)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} + \frac{- 7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x^{6} + 7 y^{6})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{7 x^{5} y}{x^{6} + 7 y^{6}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{(x^{6} + 7 y^{6}) x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x^{6} + 7 y^{6}) x$ .

$y' = - \frac{y^{7}}{x (x^{6} + 7 y^{6})} - \frac{7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{7} - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{7} - 7 x^{5} y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Scomponi $y$ da $- y^{7}$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) - 7 x^{5} y x}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Scomponi $y$ da $- 7 x^{5} y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.5.1.3

Scomponi $y$ da $y (- y^{6}) + y (- 7 x^{5} x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{5} x)}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x \cdot x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 (x^{1} x^{5}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{1 + 5})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.5.2.3

Somma $1$ e $5$ .

$y' = \frac{y (- y^{6} - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- y^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $- 7 x^{6}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6}) - (7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (y^{6}) - (7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.6.4.1

Riscrivi $- (y^{6} + 7 x^{6})$ come $- 1 (y^{6} + 7 x^{6})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{6} + 7 x^{6}))}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 5.3.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{6} + 7 x^{6})}{x (x^{6} + 7 y^{6})}$