Calcolo Esempi

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (π x) + \cos (π y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $π$ per $1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π y$ .

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Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

Passaggio 2.5.2

La derivata di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $- \sin (u_{3})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

Passaggio 2.6

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π y$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Passaggio 2.8

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Dividi per $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ ciascun termine in $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Dividi per $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ ciascun termine in $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ .

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ per $1$ .

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Passaggio 5.1.2.2

Riordina i fattori in $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Passaggio 5.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sin (π x)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

Passaggio 5.1.3.1.2.2

Scomponi $2$ da $2 \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

Passaggio 5.1.3.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Passaggio 5.1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Passaggio 5.1.3.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

Passaggio 5.1.3.2

Dividi $0$ per $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $π \cos (π x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- π \sin (π y)$ ciascun termine in $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- π \sin (π y)$ ciascun termine in $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ .

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $\sin (π y)$ .

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Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ come un prodotto.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Scrivi $\cos (π x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Dividi $\cos (π x)$ per $1$ .

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Converti da $\frac{1}{\sin (π y)}$ a $\csc (π y)$ .

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$