Calcolo Esempi

${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3} = 38392$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (38392)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 6 x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x - y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $6$ per $1$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 9 y^{2} y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 {(6 x - y)}^{3} \cdot 6 + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$

Passaggio 3

Poiché $38392$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $38392$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $24 {(6 x - y)}^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $- 4 y' {(6 x - y)}^{3}$ .

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $9 y^{2} y'$ .

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2})$ .

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.4

Usa il teorema binomiale.

$y' (- 4 ({(6 x)}^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Applica la regola del prodotto a $6 x$ .

$y' (- 4 (6^{3} x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.2

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(6 x)}^{2} y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 {(6 x)}^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.5

Applica la regola del prodotto a $6 x$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (6^{2} x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.6

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (36 x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.7

Moltiplica $36$ per $- 3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.8

Moltiplica $6$ per $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.9

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.10

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.12

Moltiplica $18$ per $1$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.13

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.5.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} - y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$y' (- 4 (216 x^{3}) - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica $216$ per $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $- 108$ per $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.7.3

Moltiplica $18$ per $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.7.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Rimuovi le parentesi.

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.8.2

Rimuovi le parentesi.

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Passaggio 5.9

Dividi per $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ ciascun termine in $y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Dividi per $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ ciascun termine in $y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ .

$\frac{y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2})}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}} = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Elimina il fattore comune di $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.9.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 864 x^{3}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.3

Scomponi $- 1$ da $432 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 72 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.7

Scomponi $- 1$ da $4 y^{3}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.9

Scomponi $- 1$ da $9 y^{2}$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})}$

Passaggio 5.9.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

Passaggio 5.9.3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.11.1

Riscrivi $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ come $- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ .

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

Passaggio 5.9.3.11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.11.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' = 1 \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Passaggio 5.9.3.11.4

Moltiplica $\frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$ per $1$ .

$y' = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$