Calcolo Esempi

$e^{x^{2} + y} = 5 x + 4 y + 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y}) = \frac{d}{d x} (5 x + 4 y + 2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 4 y + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 + 4 y' + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 4 y' + 0$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Somma $5 + 4 y'$ e $0$ .

$5 + 4 y'$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$4 y' + 5$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Passaggio 5.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Passaggio 5.1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} = 4 y' + 5$

Passaggio 5.2

Sottrai $4 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5$

Passaggio 5.3

Sottrai $2 x e^{x^{2} + y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $y' e^{x^{2} + y} - 4 y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- 4 y'$ .

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4 = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Passaggio 5.5

Dividi per $e^{x^{2} + y} - 4$ ciascun termine in $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $e^{x^{2} + y} - 4$ ciascun termine in $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2} + y} - 4$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$