Calcolo Esempi

$e^{x^{5} + y} = 9 x + 3 y + 10$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{5} + y}) = \frac{d}{d x} (9 x + 3 y + 10)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{5} + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5} + y$ .

$e^{x^{5} + y} \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{5} + y} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + 3 y + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 + 3 y' + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 3.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 + 3 y' + 0$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Somma $9 + 3 y'$ e $0$ .

$9 + 3 y'$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$3 y' + 9$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica $e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y')$ .

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4}) + e^{x^{5} + y} y' = 3 y' + 9$

Passaggio 5.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 e^{x^{5} + y} x^{4} + e^{x^{5} + y} y' = 3 y' + 9$

Passaggio 5.1.4.2

Riordina i fattori in $5 e^{x^{5} + y} x^{4} + e^{x^{5} + y} y'$ .

$5 x^{4} e^{x^{5} + y} + y' e^{x^{5} + y} = 3 y' + 9$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{4} e^{x^{5} + y} + y' e^{x^{5} + y} - 3 y' = 9$

Passaggio 5.3

Sottrai $5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{x^{5} + y} - 3 y' = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $y' e^{x^{5} + y} - 3 y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $y' e^{x^{5} + y}$ .

$y' (e^{x^{5} + y}) - 3 y' = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (e^{x^{5} + y}) + y' \cdot - 3 = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (e^{x^{5} + y}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Passaggio 5.5

Dividi per $e^{x^{5} + y} - 3$ ciascun termine in $y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $e^{x^{5} + y} - 3$ ciascun termine in $y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ .

$\frac{y' (e^{x^{5} + y} - 3)}{e^{x^{5} + y} - 3} = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{5} + y} - 3$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{x^{5} + y} - 3)}{e^{x^{5} + y} - 3} = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$