Calcolo Esempi

$x^{2} + 3 x y + y^{3} = 10$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x y + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 3 (x y') + 3 y + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x + 3 x y' + 3 y + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y$

Passaggio 3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 3 y = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x y' + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 y'$ da $3 x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 y'$ da $3 x y'$ .

$3 y' x + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x + 3 y' y^{2} = - 2 x - 3 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y' x + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $3 (x + y^{2})$ ciascun termine in $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $3 (x + y^{2})$ ciascun termine in $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ .

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x + y^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- y}{x + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{y}{x + y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 (x + y^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{x + y^{2}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{(x + y^{2}) \cdot 3}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x + y^{2}) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.9.1

Riscrivi $- (2 x + 3 y)$ come $- 1 (2 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$