Calcolo Esempi

$x^{2} + 4 x y + 4 y = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + 4 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x y + 4 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 4 y'$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 4 y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y'$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y' + 4 y + 4 y' = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y' + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $4 y'$ da $4 x y' + 4 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4 y'$ da $4 x y'$ .

$4 y' x + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $4 y'$ da $4 y'$ .

$4 y' x + 4 y' \cdot 1 = - 2 x - 4 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $4 y'$ da $4 y' x + 4 y' \cdot 1$ .

$4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $4 (x + 1)$ ciascun termine in $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4 (x + 1)$ ciascun termine in $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ .

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 (x + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{y}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{x + 1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x + 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x - y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.9.1

Riscrivi $- (x + 2 y)$ come $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Passaggio 5.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$