Calcolo Esempi

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Passaggio 2.3.7

$\frac{4}{3}$ e $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Passaggio 2.3.8

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 2.4

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 5.1

Trova un fattore comune $x^{\frac{1}{3}}$ che è presente in ciascun termine.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x^{\frac{1}{3}}$ per $u$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.3.1

Riordina i fattori in $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 5.3.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Passaggio 5.3.4.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Passaggio 5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

Passaggio 5.3.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

Passaggio 5.3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

Passaggio 5.3.4.3.2.4

Dividi $- y' y^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.4

Sostituisci $u$ per $y'$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$