Calcolo Esempi

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Passaggio 2

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

Passaggio 4

Espandi $(1 - u^{2}) u^{3}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $u^{3}$ per $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Passaggio 4.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

Passaggio 4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

Passaggio 4.5

Somma $2$ e $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Passaggio 4.6

Riordina $u^{3}$ e $- u^{5}$ .

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$