Calcolo Esempi

\sec^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$

Passaggio 1

Scomponi

\sec (x)

$\sec (x)$ da

\sec^{3} (x)

$\sec^{3} (x)$ .

\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

u = \sec (x)

$u = \sec (x)$ e

d v = \sec^{2} (x)

$d v = \sec^{2} (x)$ .

\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Passaggio 3

Eleva

\tan (x)

$\tan (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Passaggio 4

Eleva

\tan (x)

$\tan (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 5

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 6.2

Riordina

\tan^{2} (x)

$\tan^{2} (x)$ e

\sec (x)

$\sec (x)$ .

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Usando l'identità pitagorica, riscrivi

\tan^{2} (x)

$\tan^{2} (x)$ come

- 1 + \sec^{2} (x)

$- 1 + \sec^{2} (x)$ .

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 8

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 8.3

Riordina

\sec (x)

$\sec (x)$ e

- 1

$- 1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Passaggio 9

Eleva

\sec (x)

$\sec (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Passaggio 10

Eleva

\sec (x)

$\sec (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 11

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Passaggio 12

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Passaggio 13

Eleva

\sec (x)

$\sec (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Passaggio 14

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Passaggio 15

Somma

2

$2$ e

1

$1$ .

\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Passaggio 16

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Passaggio 17

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Passaggio 18

L'integrale di

\sec (x)

$\sec (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Passaggio 19

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Applica la proprietà distributiva.

\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Passaggio 19.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Passaggio 20

Risolvendo

\int \sec^{3} (x) d x

$\int \sec^{3} (x) d x$ , troviamo che

\int \sec^{3} (x) d x

$\int \sec^{3} (x) d x$ =

\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Passaggio 21

Moltiplica

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ per

1

$1$ .

\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Passaggio 22

Semplifica.

\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$