Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + x^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Combina i termini opposti in $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $2 x + 2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.7.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.4

Applica la regola del prodotto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$