Calcolo Esempi

$f (x) = (\sin (x) + \cos (x)) \sec (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Passaggio 3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(\sin (x) \sec (x) + \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) (- \sin (x))$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.5

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Riordina $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.5.2

Riscrivi $\cos (x) \sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.5.3

Elimina i fattori comuni.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.6

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.7

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.8

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.8.1

Riordina $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.8.2

Riscrivi $\cos (x) \sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.8.3

Elimina i fattori comuni.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \sec (x) \sin (x)$

Passaggio 6.5.9

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Passaggio 6.5.10

$\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6.6

Combina i termini opposti in $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Sottrai $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 0 + 1$

Passaggio 6.6.2

Somma $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ e $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Passaggio 6.7

Converti da $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) + 1$

Passaggio 6.8

Applica l'identità pitagorica.

$\sec^{2} (x)$