Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $(y - 1) (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - x = y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - x - y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y = x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - y = x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = x$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.2

$- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.4

Riscrivi $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scomponi $x - 1$ da $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.2

$- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.4.4.4

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $x - 1$ da $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$