Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{7 x}{2^{x}}$

Passaggio 1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 x}{2^{x}}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 2^{x}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$7 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2^{x}$ per $1$ .

$7 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$7 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Passaggio 5

$7$ e $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{7 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + 7 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $7 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

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Passaggio 6.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - 7 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Semplifica $- 7 \ln (2)$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$\frac{7 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{7})))}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (2^{7}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.2.2

Riordina i fattori in $7 \cdot 2^{x} - \ln (128) x \cdot 2^{x}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (128)}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.4

Scomponi $2^{x}$ da $- 2^{x} x \ln (128) + 7 \cdot 2^{x}$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $2^{x}$ da $- 2^{x} x \ln (128)$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 7 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $2^{x}$ da $7 \cdot 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $2^{x}$ da $2^{x} (- x \ln (128)) + 2^{x} \cdot 7$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (128) + 7)}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $2^{x}$ e $2^{2 x}$ .

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $2^{2 x}$ da $2^{x} (- x \ln (128) + 7)$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x}}$

Passaggio 6.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (128) + 7))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (128) + 7)}{1}$

Passaggio 6.5.2.4

Dividi $2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$ per $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (128) + 7)$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$2^{- x} (- x \ln (128)) + 2^{- x} \cdot 7$

Passaggio 6.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 7$

Passaggio 6.8

Sposta $7$ alla sinistra di $2^{- x}$ .

$- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$

Passaggio 6.9

Riordina i fattori in $- \ln (128) \cdot 2^{- x} x + 7 \cdot 2^{- x}$ .

$- x \cdot 2^{- x} \ln (128) + 7 \cdot 2^{- x}$