Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 48 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 48$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} - 48$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 48]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x + 0$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x$ .

$24 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $24 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$24 x = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 x = 0$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{24}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $24$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 4 x^{3} - 48 x$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 48 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 48 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 48 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 4 x^{3} - 48 x$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 24 (- 0.1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $24$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.4$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- 2.4$ .

$- 2.4$

Passaggio 5.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 2.4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 24 (0.1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $24$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 2.4$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $2.4$ .

$2.4$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $2.4$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 8