Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} (3 x^{2} - 20)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 20$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 20] + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 20$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.6

Somma $6 x$ e $0$ .

$x^{3} (6 x) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x^{4} + (3 x^{2} - 20) (3 x^{2})$

Passaggio 6

Sposta $3$ alla sinistra di $3 x^{2} - 20$ .

$6 x^{4} + 3 \cdot (3 x^{2} - 20) x^{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{4} + (3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 20) x^{2}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Passaggio 7.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Passaggio 7.3.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 60 x^{2}$

Passaggio 7.3.4

Somma $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$