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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Differenzia.
Passaggio 2.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2
Calcola .
Passaggio 2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 2.4
Riordina i termini.
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2
Calcola .
Passaggio 3.2.1
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 3.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 3.2.3
Differenzia usando la regola della catena secondo cui è dove e .
Passaggio 3.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 3.2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 3.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 3.2.4
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 3.2.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2.6
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 3.2.6.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 3.2.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.7
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.8
Eleva alla potenza di .
Passaggio 3.2.9
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 3.2.10
Sottrai da .
Passaggio 3.2.11
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.12
Moltiplica per .
Passaggio 3.2.13
Somma e .
Passaggio 3.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.4
Semplifica.
Passaggio 3.4.1
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 3.4.2
Raccogli i termini.
Passaggio 3.4.2.1
e .
Passaggio 3.4.2.2
Somma e .
Passaggio 4
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 5.1.1
Differenzia.
Passaggio 5.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 5.1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 5.1.2
Calcola .
Passaggio 5.1.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 5.1.3
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 5.1.4
Riordina i termini.
Passaggio 5.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 6.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 6.3
Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.
Passaggio 6.3.1
Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.
Passaggio 6.3.2
Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.
Passaggio 6.4
Moltiplica per ciascun termine in per eliminare le frazioni.
Passaggio 6.4.1
Moltiplica ogni termine in per .
Passaggio 6.4.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 6.4.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 6.4.2.1.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 6.4.2.1.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.4.2.1.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.5
Risolvi l'equazione.
Passaggio 6.5.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 6.5.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 6.5.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 6.5.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 6.5.2.2.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 6.5.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 6.5.2.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 6.5.2.3.1
Dividi per .
Passaggio 6.5.3
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 6.5.4
Qualsiasi radice di è .
Passaggio 6.5.5
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 6.5.5.1
Per prima cosa, usa il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 6.5.5.2
Ora, usa il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 6.5.5.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 7
Passaggio 7.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 7.2
Risolvi per .
Passaggio 7.2.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 7.2.2
Semplifica .
Passaggio 7.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 7.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 7.2.2.3
Più o meno è .
Passaggio 8
Punti critici da calcolare.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 10
Passaggio 10.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 10.2
Dividi per .
Passaggio 11
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 12
Passaggio 12.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 12.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 12.2.1
Dividi per .
Passaggio 12.2.2
Somma e .
Passaggio 12.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 14
Passaggio 14.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.2
Dividi per .
Passaggio 15
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 16
Passaggio 16.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 16.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 16.2.1
Dividi per .
Passaggio 16.2.2
Sottrai da .
Passaggio 16.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 17
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
Passaggio 18