Calcolo Esempi

$\ln (\sec (9 x) + \tan (9 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \frac{d}{d x} [\sec (9 x) + \tan (9 x)]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (9 x) + \tan (9 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (9 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (\sec (9 x) \tan (9 x) \cdot 9 + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $9$ alla sinistra di $\sec (9 x) \tan (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \cdot (\sec (9 x) \tan (9 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (9 x)])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Passaggio 5.2

La derivata di $\tan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $9 x$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) (9 \cdot 1))$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + \sec^{2} (9 x) \cdot 9)$

Passaggio 6.3.2

Sposta $9$ alla sinistra di $\sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \cdot \sec^{2} (9 x))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} (9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x))$ .

$(9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $9 \sec (9 x) \tan (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ .

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Passaggio 7.3.1

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ e $9$ .

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.3.2

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ e $\sec (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.3.3

$\frac{9 \sec (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ e $\tan (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + 9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $9 \sec^{2} (9 x) \frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ .

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Passaggio 7.4.1

$\frac{1}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ e $9$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} \sec^{2} (9 x)$

Passaggio 7.4.2

$\frac{9}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$ e $\sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)} + \frac{9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.6

Scomponi $9 \sec (9 x)$ da $9 \sec (9 x) \tan (9 x) + 9 \sec^{2} (9 x)$ .

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $9 \sec (9 x)$ da $9 \sec (9 x) \tan (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec^{2} (9 x)}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $9 \sec (9 x)$ da $9 \sec^{2} (9 x)$ .

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $9 \sec (9 x)$ da $9 \sec (9 x) (\tan (9 x)) + 9 \sec (9 x) (\sec (9 x))$ .

$\frac{9 \sec (9 x) (\tan (9 x) + \sec (9 x))}{\sec (9 x) + \tan (9 x)}$