Calcolo Esempi

$\ln (\cos (x^{2}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 2

Converti da $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ a $\sec (x^{2})$ .

$\sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$ .

$- 2 x \sec (x^{2}) \sin (x^{2})$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\sec (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

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Passaggio 5.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \frac{- 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 5.3.2

$x$ e $\frac{- 2}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 5.4

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 5.6

$\sin (x^{2})$ e $\frac{2 x}{\cos (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x^{2}) (2 x)}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 5.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x^{2}) x}{\cos (x^{2})}$

Passaggio 5.8

Frazioni separate.

$- (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Passaggio 5.9

Converti da $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$- (\frac{2 x}{1} \tan (x^{2}))$

Passaggio 5.10

Dividi $2 x$ per $1$ .

$- (2 x \tan (x^{2}))$

Passaggio 5.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x \tan (x^{2})$