Calcolo Esempi

$y = (5 x - 1) (4 + 3 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 x - 1$ e $g (x) = 4 + 3 x$ .

$(5 x - 1) \frac{d}{d x} [4 + 3 x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(5 x - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 x - 1) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(5 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $5 x - 1$ .

$3 \cdot (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (5 x - 1) \cdot 1 + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 + 0)$

Passaggio 2.13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.13.1

Somma $5$ e $0$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) \cdot 5$

Passaggio 2.13.2

Sposta $5$ alla sinistra di $4 + 3 x$ .

$3 (5 x - 1) + 5 \cdot (4 + 3 x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (5 x) + 3 \cdot - 1 + 5 (4 + 3 x)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (5 x) + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$15 x + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$15 x - 3 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$15 x - 3 + 20 + 5 (3 x)$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x - 3 + 20 + 15 x$

Passaggio 3.3.5

Somma $- 3$ e $20$ .

$15 x + 17 + 15 x$

Passaggio 3.3.6

Somma $15 x$ e $15 x$ .

$30 x + 17$