Calcolo Esempi

$y = (5 - x^{2}) (x^{3} - 5 x + 5)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 - x^{2}$ e $g (x) = x^{3} - 5 x + 5$ .

$(5 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x + 5] + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 5 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(5 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.7

Somma $3 x^{2} - 5$ e $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- (2 x))$

Passaggio 2.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- 2 x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$15 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$15 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$15 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + 5 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.6

Somma $15 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.7.1

Sposta $x$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.5.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.7.3

Somma $1$ e $3$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{4} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 \cdot x^{4} - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.9

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x \cdot x + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1}) + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{1 + 1} + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.13

Somma $1$ e $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} + 5 (- 2 x)$

Passaggio 3.5.14

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} - 10 x$

Passaggio 3.5.15

Sottrai $2 x^{4}$ da $- 3 x^{4}$ .

$20 x^{2} - 5 x^{4} - 25 + 10 x^{2} - 10 x$

Passaggio 3.5.16

Somma $20 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 5 x^{4} - 25 - 10 x$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 10 x - 25$